从单位圆理解欧拉公式

1.单位圆

在复平面中,取模长为 1 的点集构成单位圆:$x^{2}+y^{2}=1$。 任意角 θ(弧度制)确定圆上一点 P,它与原点的距离恒为 1。

2.三角函数的几何意义

点 P 的坐标为 $P=(\cos\theta,\ \sin\theta)$。 cos θ 是 P 在实轴上的投影(横坐标), sin θ 是 P 在虚轴上的投影(纵坐标)。

• cos θ:实轴投影
• sin θ:虚轴投影
• OP = 1:模长

3.复平面中的点与复数

复平面中,点 P(x, y) 对应复数$z=x+iy$。 因此单位圆上的点 P 对应$z=\cos\theta+i\sin\theta$,其模长为$|z|=\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}=1$。

4.欧拉公式

定义复指数函数 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$—— 它的几何意义是:从点 1 出发,逆时针旋转 θ 弧度, 到达单位圆上的点 P。指数的语言与三角的语言在同一张圆上重合。